통분·약분의 걸림돌 ― '크기를 바꾸지 않고 모양만 바꾼다'가 전해지지 않는 이유
'분수를 모르겠다'는 상담은, 3학년 때 분수 그 자체의 의미에서 걸리는 경우와, 5학년 때 통분·약분의 절차에서 걸리는 경우가 전혀 다른 풍경입니다. 이번에 쓰는 것은 후자입니다. 분수가 어떤 수인지는 알고 있는데, 크기를 바꾸지 않고 모양만 바꾸는 조작에서 걸리는 경우에 대한 이야기입니다.
분모만 바꿔 쓰고, 분자는 그대로 둔 답안을 본 적이 있으신가요. 통분은 '분모를 맞추기 위한 작업'이라고, 저도 처음에는 그렇게 생각했습니다. 알아보니, 그렇지 않았습니다.
걸림돌의 원인
원인 1: '분모를 맞춘다'만이라고 생각함
일본 문부과학성의 초등학교 학습지도요령(2017년 고시) 해설 산수편에는 '분모가 다른 분수를 분모가 같은 분수로 고치는 것을 통분이라 한다'라고 쓰여 있습니다(제5학년 수와 계산). 여기서 중요한 것은 '분모가 같은 분수로 고친다'는 부분입니다. 분모를 바꿀 때 분자도 같은 배율로 바꾸지 않으면, 원래 분수와는 다른 크기가 되어 버립니다. 분모만 바꿔 쓰고 분자를 그대로 둔 답안은, 바로 이 한 가지가 빠져 있는 것입니다.
원인 2: 약분을 '도중'에 멈춰 버림
약분은 통분과 반대의 조작으로, 분모와 분자를 같은 수로 나누어 형태를 작게 만듭니다. 2로 한 번 나눈 곳에서 손이 멈춰, 아직 나눠지는 분수인 채로 답을 써 버리는 장면이 자주 일어납니다. '더 이상 나눠지지 않는 형태가 될 때까지'라는 끝맺음의 기준을 갖고 있지 않으면, 계산 자체는 맞더라도 답이 완성되지 않습니다.
원인 3: 형식만 외우고 의미를 남겨 둠
학습지도요령 해설은 통분 지도에 대해 '형식적으로 조작하는 것에 그치지 않고, 그 의미를 잘 이해하여 크기가 같은 분수에 주목할 수 있도록 하는 것이 중요하다'라고 말하고 있습니다. 분모의 최소공배수를 찾아 분자에도 같은 수를 곱한다는 절차 자체는 외울 수 있습니다. 다만 그것이 크기를 바꾸지 않고 모양만 바꾸는 것뿐이라는 의미가 빠지면, 왜 그 절차가 필요한지 모른 채 작업만 남게 됩니다.
집에서 가르치는 법
1단계: 크기가 같은 분수를 나란히 보여준다
2분의 1, 4분의 2, 6분의 3을, 같은 길이의 띠나 색종이로 나란히 놓습니다. 눈에 보이는 크기가 전부 같다는 것을 확인한 다음, '분모와 분자에 같은 수를 곱해도 크기는 변하지 않는다'는 한 문장을 말로 표현합니다. 통분은, 이 성질을 이용해 두 분수의 분모를 맞추고 있을 뿐이라고 전합니다.
2단계: 분모를 바꾸면 분자도 함께 움직인다
통분 연습에서는, '분모에 무엇을 곱했는가'를 소리 내어 말하는 습관을 들입니다. 분모를 3배로 하면 분자도 3배. 이것을 기계적인 절차로만 두지 말고, '같은 수를 곱했으니 크기는 변하지 않았다'는 확인과 짝지어 줍니다.
3단계: 약분은 '더 이상 나눠지지 않을 때'까지
약분의 답을 맞출 때는, '아직 나눠지는 수는 없는지'를 마지막에 한 번 더 물어봅니다. 2로 나눠진다는 것을 알아차렸어도, 그 뒤에 3으로도 나눠지는 분수는 드물지 않습니다. 한 번 나누고 끝내지 않는 습관을, 말을 걸어 주며 만들어 갑니다.
피하고 싶은 것
분모만 바꿔 쓰고 분자를 그대로 둔 답안을 발견했을 때, '분자도 바꿔'라고만 말하면, 다음에도 같은 실수를 반복합니다. '분모에 무엇을 곱했어?' '그럼 분자는?'처럼, 곱한 수를 아이 스스로 입으로 말하게 하는 편이, 다음번에 스스로 알아차릴 수 있게 됩니다.
연습 진행 방법
- 5학년 분수의 성질은, 크기가 같은 분수의 빈칸 채우기부터 시작해, 약분, 두 수의 통분, 세 수의 통분, 크기 비교로 나아갑니다. 크기가 같은 분수의 빈칸 채우기를 '쉬우니까'라며 서두르지 않는 것이, 뒤이은 통분·약분의 토대가 됩니다
- 같은 단원에는, 나눗셈의 몫을 분수로 나타내는 연습이나, 분수와 소수를 오가는 연습도 포함되어 있습니다. 분수의 의미를 여러 각도에서 확인할 수 있는 구성입니다
- 통분을 할 수 있게 되면, 분수의 덧셈 (이분모)와 분수의 뺄셈, 가감 혼합으로 나아갑니다. 학습지도요령 해설은 그 이유를, '이것은, 단위를 맞춰 계산한다는 덧셈·뺄셈 계산의 기본이 되는 사고방식이다'라고 설명하고 있습니다. 통분은 덧셈·뺄셈의 전 단계 작업이 아니라, 그 계산 자체를 떠받치는 사고방식입니다
알아보고 나서 안 것은, 이 순서가 학습지에서도 같다는 점이었습니다. 크기가 같은 분수를 확인하는 연습을, 약분·통분보다 앞에 두고 있습니다.
자주 묻는 질문
Q. 통분과 약분, 어느 쪽을 먼저 연습해야 하나요?
A. 집에서 새로운 순서를 만들 필요는 없습니다. 학습지의 순서대로, 크기가 같은 분수의 빈칸 채우기 → 약분 → 통분의 순서로 나아가면, 약분에서 '같은 수로 나누는' 동작에 익숙해진 다음, 통분에서 '같은 수를 곱하는' 동작으로 나아갑니다. 둘 다 같은 성질의 앞뒷면이므로, 도중에 순서가 뒤바뀌어도 큰 지장은 없습니다.
Q. 최소공배수를 모르면 통분은 할 수 없나요?
A. 학습지도요령 해설은, '두 분수를 통분할 때, 분모로 두 분모의 최소공배수를 쓰면 간결하게 나타낼 수 있다'라고 하고 있습니다. 뒤집어 말하면, 최소공배수가 아니더라도, 두 분모에 공통되는 배수라면 통분 자체는 성립합니다. 수가 커져서 계산하기 번거로울 뿐입니다. 최소공배수는 '반드시 필요한 지식'이라기보다 '편하게 계산하기 위한 도구'라고 생각해 주세요. 배수 학습이 다소 불안정해도, 통분 연습을 멈출 필요는 없습니다.
통분·약분은, 5학년 분수 계산 가운데 가장 눈에 띄지 않는 단원입니다. 화려한 걸림돌이 잘 드러나지 않는 만큼, 분모만 바꿔 쓰고 끝난 답안을 놓치기 쉬우니, 채점할 때 분자까지 봐 주세요.
이 글은 diglabo를 만들고 있는 학부모가 씁니다. 저는 교사도 교육 전문가도 아닙니다. 일반적인 지도 방법은 일본 초등학교에서 가르치는 내용과 학습지도요령을 확인해 정리했습니다.
diglabo의 학습지는 일본 교육과정을 따릅니다. 일본 밖에서 쓴다면 어떤 의미인지