학습 가이드
약수와 배수를 가르치는 법 ― '12의 약수'에서 1과 12가 빠지는 이유
'12의 약수를 써 봐'라고 하면, 2, 3, 4, 6까지 쓰고 손이 멈춥니다. 1과 12가 빠져 있는 장면을 본 적이 있을지도 모릅니다. 빠지는 것은 계산력이 아니라, 약수를 어디까지 찾아야 하는지에 대한 감입니다.
일본 문부과학성의 초등학교 학습지도요령(2017년 고시) 해설 산수편은, 이 단원의 목표를 '어떤 수의 약수나 배수 전체를 각각 하나의 집합으로 파악할 수 있게 하는 것을 목표로 한다'라고 하고 있습니다(제5학년 수와 계산).
저는 이 단원의 목표를, 구구단처럼 낱개의 약수를 재빨리 말할 수 있는 것이라고 생각하고 있었습니다. 알아보니, 목표는 낱개의 암기 속도가 아니라, 그 수의 약수 '전부'를 하나의 집합으로 두루 살펴볼 수 있게 되는 것이었습니다. 이렇게까지 깊은 목표일 줄은 몰랐습니다.
걸림돌의 원인: 약수와 배수를 '집합'으로 파악하지 못함
원인 1: 약수를 나열할 때, 1과 그 수 자신을 빠뜨리고 씀
해설에는 '12를 나누어떨어지게 하는 정수를 12의 약수라고 한다'라고 되어 있습니다. 12는 1로도 나누어떨어지고, 12로도 나누어떨어지므로, 1과 12도 엄연한 약수입니다. 이것을 빠뜨리는 것은, 약수를 12보다 작은 수 안에서만 찾으려 하고 있다는 신호입니다. 곱해서 12가 되는 수의 짝을 전부 찾는다는 방법으로 바꾸지 않는 한, 1과 12는 시야에 들어오지 않습니다. 1과 12가 빠진 집합은, 올바른 집합이 되지 않습니다.
원인 2: 공약수인지 공배수인지, 장면에서 헷갈림
'세로 8cm, 가로 12cm인 종이를, 남는 부분 없이 같은 크기의 정사각형으로 잘라 나누고 싶다'라면 공약수, '8분마다 오는 버스와 12분마다 오는 버스가, 다음에 동시에 출발하는 것은 몇 분 후인가'라면 공배수. 이 두 장면을 헷갈리는 실수가 가장 많이 나옵니다. 구별하는 방법은 답의 크기입니다. 정사각형의 한 변은 8이나 12보다 작아야 하므로 공약수, 버스가 겹치는 시각은 8분 후나 12분 후보다 뒤여야 하므로 공배수. 답이 원래 수보다 어느 쪽으로 움직여야 하는지를 먼저 짐작해 두면, 공약수와 공배수 가운데 어느 쪽을 계산하면 되는지 헷갈리지 않습니다.
원인 3: 배수를 셀 때 0을 섞어 버림
해설에는 '3에 정수를 곱해서 만들어지는 수를 3의 배수라고 한다'라고 되어 있습니다. '정수를 곱해서'라는 말만 보면 0을 곱해도 될 것처럼 보이지만, 학교에서는 이때 0을 배수에 포함하지 않기로 정해져 있습니다. 3의 배수는 3, 6, 9, 12…처럼 1부터 곱하기 시작해서 세는 것이 규칙이고, 여기서 걸리는 아이는 적지 않습니다.
집에서 가르치는 법
1단계: 약수는 '곱셈 짝 찾기'로 전부 찾는다
12라면, 1×12, 2×6, 3×4처럼, 곱해서 12가 되는 짝을 작은 수부터 순서대로 찾습니다. 짝으로 찾으면, 한쪽 상대로 1과 12도 자연스럽게 나오므로 빠뜨리지 않습니다. 같은 수끼리의 짝이 나오면, 거기서 탐색이 끝난다는 표시가 됩니다(36이라면 6×6입니다).
2단계: 공약수인지 공배수인지는 '답이 원래 수보다 어떻게 되는가'로 확인한다
식을 세우기 전에, '답은 원래 수보다 작아져야 할지, 커져야 할지'를 소리 내어 말하게 합니다. 나누는 장면이면 작게, 겹치는 장면이면 크게 나와야 한다고 짐작이 서면, 최대공약수와 최소공배수 가운데 어느 쪽 계산으로 나아가야 할지를 스스로 고를 수 있습니다.
3단계: 배수는 구구단의 역방향으로 써 나가고, 0을 넣지 않는다
'3단을 1부터 곱해 나가면?'이라고 물어, 3×1, 3×2, 3×3…처럼 1부터 곱해서 배수를 만들게 합니다. 구구단의 배열 그 자체이므로, 구구단이 술술 나오는 아이에게는 부담이 적은 연습입니다.
피하고 싶은 것
'최대공약수', '최소공배수'라는 용어를 먼저 외우게 하고, 나중에 장면을 끼워 맞추게 하는 순서는 피하고 싶습니다. 용어보다 먼저, 나누는 장면과 겹치는 장면의 차이를 일상의 말로 확인해 주세요.
연습 진행 방법
- 정수의 성질 (약수와 배수) 단원은, 약수와 배수의 나열, 공약수·최대공약수, 공배수·최소공배수의 순서로 한 흐름으로 이어져 있습니다
- 약수를 찾는 작업은, 구구단 (6~9단, 1단)을 거꾸로 찾는 속도가 빠를수록 편해집니다. 구구단에서 아직 헷갈리는 단이 남아 있다면, 그곳을 먼저 다지는 편이 결과적으로 지름길입니다
- 분수의 약분·통분은, 여기서 연습한 공약수·최소공배수를 그대로 쓰는 장면입니다. 분수의 성질로 나아가기 전에, 나열을 매끄럽게 해 두면 이후가 편해집니다
자주 묻는 질문
Q. 큰 수의 약수를 전부 찾는 요령이 있나요?
A. 1×그 수부터 순서대로, 곱해서 그 수가 되는 짝을 찾는 방법이 확실합니다. 1과 12, 2와 6, 3과 4처럼, 작은 쪽 수를 1부터 순서대로 늘려 가다가, 짝의 두 수가 역전되면 탐색은 끝입니다. 36이라면 1과 36, 2와 18, 3과 12, 4와 9, 6과 6까지 나아간 지점에서, 6×6은 같은 수끼리이므로, 거기서 멈춰도 좋다는 신호가 됩니다. 40 정도까지의 수라면, 이 방법으로 충분히 다 찾을 수 있습니다.
Q. 소수(素数)는 이 단원에서 가르쳐야 하나요?
A. 소수(약수가 1과 그 수 자신밖에 없는 수)는, 이 단원의 범위 밖입니다. 본격적으로 다루는 것은 중학교 이후가 됩니다. '약수가 2개뿐인 수도 있다'는 것을 알아차리는 정도로 충분하며, 깊이 파고들 필요는 없습니다.
약수와 배수는, 답을 하나 찾는 단원이 아니라, 집합으로 두루 살펴보는 단원입니다. 빠뜨림이 계속되는 동안은, 외우는 법보다 찾는 법을 확인하는 시간으로 써 주세요.
이 글은 diglabo를 만들고 있는 학부모가 씁니다. 저는 교사도 교육 전문가도 아닙니다. 일반적인 지도 방법은 일본 초등학교에서 가르치는 내용과 학습지도요령을 확인해 정리했습니다.
diglabo의 학습지는 일본 교육과정을 따릅니다. 일본 밖에서 쓴다면 어떤 의미인지