「明明是乘法却变小了」的真相 —— 分数乘除法
「明明是乘法，答案却变小了」「明明是除法，答案反而变大了」。六年级一进入分数的乘法、除法，整数时代管用的那套直觉，就一次接一次地被推翻。
这套直觉为什么偏偏在这里崩掉？原因是，分数乘法、除法本身的意义，是随着年级一点一点被重新搭建起来的。
卡壳的原因
原因 1：「乘法＝变大，除法＝变小」不成立了
乘以三分之二，结果会比原来的数小。除以五分之四，结果反而会比原来的数大。整数世界里一直成立的「乘了会变大，除了会变小」这套直觉，一遇到比 1 小的数就不管用了。这不是分数独有的怪现象，小数的乘法、除法里其实已经发生过一次。学习指导要领解说在讲分数乘法、除法的意义时提到，「要指导孩子能把从整数的乘法、除法扩展到小数的乘法、除法时形成的那套意义，继续用到这里」（第 6 学年 数与计算）。直觉并不是到了分数才突然崩掉的，崩掉这件事本身，其实从更早的阶段就已经在一点点发生了。
原因 2：带分数没化开，整数部分和分数部分分别去乘
1又二分之一乘以三分之二时，有的答案没把带分数化成假分数，而是把整数部分的 1 和分数部分的二分之一分别去乘三分之二。分数的乘法是分母乘分母、分子乘分子这套步骤，带分数留在原地，这套步骤本身就没法进行。答案比原来的数小了很多，就可以怀疑是这种类型。查了才发现，解说里写着「分数的乘法、除法，比起用带分数表示，用假分数表示更容易往下算」。这句话我是查了才知道的。练习题也在乘法单元里专门设了「带分数×整数、整数×带分数」这一步，让孩子能在分数×分数之前先练到。
原因 3：除法时弄错该把哪一个变成倒数
分数的除法，是把除数变成倒数、改写成乘法来算。这里常出现的错误，是把被除数变成了倒数，答案整个反了过来。三个分数连除时，也见过只在第一步取倒数、后面照旧相乘的答案。
在家怎么教
第 1 步：用图形演示「乘、除比 1 小的数」是什么场面
一条纸带取它的三分之二，会比原来短。画出这个图，能打破「乘法就该变大」的先入为主。除法也一样，用具体的量确认一下，除以五分之四答案反而会变大的场面。
第 2 步：带分数在开始计算前先化成假分数
写下乘法、除法的算式之后，先确认带分数是不是已经化成假分数。不是「先算再化」，而是「先化再算」，每次都按同一个顺序确认，让它变成习惯。
第 3 步：用手指指出要变成倒数的数
在除法算式里，先用手指按住除数（÷ 后面那个分数），再把它倒过来。多加这一个用眼睛和手确认「倒过来的是哪一个」的动作，能减少和被除数搞混的错误。
要避免的做法
学习指导要领解说在讲分数的计算时提到，「不要毫无必要地指导过于复杂的计算，而是要让分数的计算能用到生活和今后的学习中」。在家里也不必额外找位数更多的分数、更复杂的约分让孩子多练来「熟练」。看清楚眼下这个类型卡在哪一步，才是更近的路。
练习的推进方式
- 分数的乘法从分数×整数、整数×分数开始，经过带分数×整数、整数×带分数这个带分数专属的阶段，再进到分数×分数。带分数这一步如果匆匆带过，下一步分数×分数的卡壳就会显出来
- 分数的除法从分数÷整数、整数÷分数、带分数÷整数入手，再到真分数÷真分数、含带分数的形式，以及分数和小数混合的形式
把带分数÷整数单独列成一步，也是同样的道理。
- 两者都会用到面积、单位量、求比较量的应用题，以及三个分数的乘法、除法。学习指导要领解说也强调「不要指导过于复杂的计算，而要让分数的计算能用到生活和今后的学习中去」，没有必要硬让孩子解数字很大的分数
常见问题
Q. 为什么「明明是除法却要乘倒数」？
A. 学习指导要领解说提到，「除数是分数的除法，可以用倒数改写成乘法；整数、小数、分数的乘法，只要都化成分数，就随时能计算」。之所以特意把除法改写成乘法，是为了把计算的样子统一起来，也是为了让孩子能只靠已经学会的乘法步骤来处理。告诉孩子这不是换了一套新规则，只是把样子对齐了而已，孩子会更容易接受。
Q. 约分应该什么时候做？
A. 分母乘分母、分子乘分子算完之后再一起约分也可以，但数字变大、算起来麻烦的时候，先在乘之前用公共的数约掉会更好处理。不管哪种顺序，答案都是一样的。
明明是乘法却变小，明明是除法却变大。这不是分数才有的特别难关，只是整数时代一路搭起来的那套直觉，在这里被重新组装了一次。答案和直觉不一样，不必因此慌张。
这篇文章由 diglabo 的开发者、一位家长撰写。我不是老师，也不是教育专家。文中一般性的教法依据日本小学的教学内容，并对照了日本的课程标准。
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