'곱했는데 작아진다'의 정체 ― 분수의 곱셈·나눗셈
'곱셈인데 답이 작아진다', '나눗셈인데 답이 커진다'. 6학년 때 분수의 곱셈·나눗셈에 들어가면, 정수일 때 통하던 감각이 뒤집히는 장면이 이어집니다.
정수일 때 통하던 감각이, 왜 여기서 무너지는 걸까요. 이유는, 분수의 곱셈·나눗셈 자체의 의미가, 학년이 올라갈 때마다 조금씩 다시 만들어져 왔기 때문입니다.
걸림돌의 원인
원인 1: '곱셈=늘어남, 나눗셈=줄어듦'이 무너짐
3분의 2를 곱하면, 원래 수보다 작아집니다. 5분의 4로 나누면, 원래 수보다 커집니다. 정수의 세계에서 줄곧 옳았던 '곱하면 늘어나고, 나누면 줄어든다'는 감각은, 1보다 작은 수가 상대가 되는 순간 통하지 않습니다. 이것은 분수만의 특별한 현상이 아니라, 소수의 곱셈, 나눗셈에서도 이미 일어났던 일입니다. 학습지도요령 해설은, 분수의 곱셈·나눗셈의 의미에 대해 '정수의 곱셈 및 나눗셈에서 소수의 곱셈 및 나눗셈으로 확장된 곱셈 및 나눗셈의 의미를 적용할 수 있도록 지도한다'라고 말하고 있습니다(제6학년 수와 계산). 분수에서 갑자기 감각이 무너지는 것이 아니라, 무너지는 경험 자체는 그보다 훨씬 전부터 쌓여 온 것입니다.
원인 2: 대분수 그대로, 정수 부분과 분수 부분을 따로따로 곱해 버림
1과 2분의 1에 3분의 2를 곱할 때, 대분수를 가분수로 고치지 않는 답안이 있습니다. 정수 부분인 1과 분수 부분인 2분의 1을, 따로따로 3분의 2와 곱해 버리는 답안이 눈에 띕니다. 분수의 곱셈은 분모끼리, 분자끼리 곱하는 절차이므로, 대분수인 채로는 절차 자체가 성립하지 않습니다. 답이 원래 수보다 상당히 작아져 있다면, 이 유형을 의심해 봅니다. 알아보니, 해설은 '분수의 곱셈 및 나눗셈에 대해서는, 대분수로 나타내기보다 가분수로 나타내는 쪽이 계산을 진행하기 쉬워진다'라고 하고 있었습니다. 저는 이 한 문장을 읽기 전까지는 몰랐습니다. 학습지도 곱셈 단원에 '대분수×정수·정수×대분수'라는 전용 단계를 마련해, 분수×분수보다 앞서 연습할 수 있게 하고 있습니다.
원인 3: 나눗셈에서 '어느 쪽을 역수로 할지'를 헷갈림
분수의 나눗셈은, 나누는 수를 역수로 바꿔 곱하는 형태로 고쳐서 계산합니다. 여기서, 나눠지는 수 쪽을 역수로 만들어 버려, 답이 뒤집히는 실수가 자주 나옵니다. 세 분수의 나눗셈에서는, 처음 한 번만 역수로 만들고, 나머지는 그대로 곱해 버리는 답안도 보입니다.
집에서 가르치는 법
1단계: 1보다 작은 수를 곱하고 나누는 장면을 그림으로 보여준다
테이프 1개의 3분의 2를 자르면, 원래보다 짧아집니다. 이것을 그림으로 그려서, '곱셈이니까 늘어난다'는 생각을 무너뜨립니다. 나눗셈도 마찬가지로, 5분의 4로 나누면 답이 커지는 장면을, 구체적인 양으로 확인합니다.
2단계: 대분수는 계산을 시작하기 전에 가분수로
곱셈·나눗셈 식을 쓰면, 먼저 대분수를 가분수로 고쳤는지부터 확인합니다. '계산하고 나서 고치기'가 아니라 '고치고 나서 계산하기'의 순서를, 매번 같은 순서로 확인하는 습관으로 만듭니다.
3단계: 역수로 만들 수를 손가락으로 짚는다
나눗셈 식에서, 나누는 수(÷ 뒤의 분수)를 손가락으로 짚은 다음, 그 수를 뒤집습니다. '어느 쪽을 뒤집을지'를 눈과 손으로 확인하는 동작을 끼워 넣으면, 나눠지는 수와 헷갈리는 실수가 줄어듭니다.
피하고 싶은 것
학습지도요령 해설은, 분수의 계산에 대해 '쓸데없이 복잡한 계산을 지도하는 것이 아니라, 분수의 계산을 생활이나 앞으로의 학습에 활용할 수 있도록'이라고 말하고 있습니다. 집에서도, 자릿수가 많은 분수나 복잡한 약분을 추가로 풀게 해서 익숙해지도록 할 필요는 없습니다. 지금 나오고 있는 유형이 어디에서 걸리는지를 가려내는 편이 지름길입니다.
연습 진행 방법
- 분수의 곱셈은, 분수×정수·정수×분수부터 시작해, 대분수×정수·정수×대분수라는 대분수 전용 단계를 거친 다음, 분수×분수로 나아갑니다. 대분수 단계를 가볍게 다루면, 다음 분수×분수에서 걸림돌이 겉으로 드러납니다
- 분수의 나눗셈은, 분수÷정수·정수÷분수·대분수÷정수부터 들어가, 진분수÷진분수, 대분수가 포함된 형태, 분수와 소수가 섞인 형태로 나아갑니다
대분수÷정수를 독립된 단계로 만들어 둔 것도, 같은 이유에서입니다.
- 어느 쪽이든, 넓이나 단위량당 크기, 비교하는 양을 구하는 문장제, 세 분수의 곱셈·나눗셈까지 다룹니다. 학습지도요령 해설도 '쓸데없이 복잡한 계산을 지도하는 것이 아니라, 분수의 계산을 생활이나 앞으로의 학습에 활용할 수 있도록 한다'는 점을 중시합니다. 수가 큰 분수를 무리하게 풀게 할 필요는 없습니다
자주 묻는 질문
Q. 왜 '나눗셈인데 역수를 곱하는' 건가요?
A. 학습지도요령 해설은, '나누는 수가 분수인 나눗셈은 역수를 이용함으로써 곱셈으로 고칠 수 있다는 것, 정수, 소수, 분수의 곱셈은 분수로 맞추면 언제든지 계산할 수 있다는 것 등을 지도하고'라고 하고 있습니다. 나눗셈을 굳이 곱셈으로 고치는 것은, 계산의 겉모습을 통일하기 위해서입니다. 지금까지 익힌 곱셈 절차만으로 처리할 수 있게 하려는 목적도 있습니다. 구조를 바꾸는 것이 아니라 맞추고 있을 뿐이라고 전하면, 아이도 납득하기 쉬워집니다.
Q. 약분은 언제 하나요?
A. 분모끼리, 분자끼리 곱한 뒤에 한꺼번에 약분해도 괜찮지만, 수가 커져서 계산하기 번거로울 때는, 곱하기 전에 공통되는 수로 미리 약분해 두면 다루기 쉬워집니다. 어느 순서로 해도 답은 같습니다.
곱셈인데 작아지고, 나눗셈인데 커진다. 이 어긋남은 분수만의 특별한 벽이 아닙니다. 정수 시절부터 쌓아 온 감각이, 여기서 한 번 다시 짜이고 있을 뿐입니다. 답이 직감과 달라도, 당황할 장면은 아닙니다.
이 글은 diglabo를 만들고 있는 학부모가 씁니다. 저는 교사도 교육 전문가도 아닙니다. 일반적인 지도 방법은 일본 초등학교에서 가르치는 내용과 학습지도요령을 확인해 정리했습니다.
diglabo의 학습지는 일본 교육과정을 따릅니다. 일본 밖에서 쓴다면 어떤 의미인지