학습 가이드
넓이를 가르치는 법 ― 칸 세기 경험과 공식을 잇기
모눈 학습지에서 넓이를 구하는 법은 '칸을 하나씩 세기'부터 시작합니다. 세어서 답을 내던 아이가, 어느 순간 '세로 4×가로 6'이라는 식만으로 답을 씁니다. 칸을 손가락으로 짚는 모습이 보이지 않게 되면, 그것만으로 단원이 진전된 것처럼 느껴집니다. 다만 식의 의미를 물으면 대답하지 못하는 경우가 있습니다.
학습지도요령 해설에는 '단위가 되는 정사각형을 빈틈없이 늘어놓는 것이 아니라 계산으로 넓이를 구하는 방법을 생각할 수 있도록 하는 것이 중요하다'라고 쓰여 있습니다. 칸을 세는 경험을 먼저 두는 것은 돌아가는 길이 아니라, 식의 의미를 뒷받침하는 토대입니다. 그것을 알고 나서, 저는 학습지를 직사각형·정사각형의 넓이, 복합 도형, 단위 환산 순으로 배열했습니다.
걸림돌의 원인: 칸을 세는 경험과 식이 이어지지 않음
원인 1: 공식이 '왜 그 식이 되는가'를 건너뜀
정사각형이나 직사각형의 넓이는, 세로×가로라는 식으로 구합니다. 이 식이 어디서 나오는가 하면, 칸이 늘어선 모양 그 자체입니다. 일본 문부과학성의 초등학교 학습지도요령(2017년 고시) 해설 산수편에는 '정사각형이나 직사각형에서는, 변을 따라 단위 정사각형이 규칙적으로 늘어서 있으므로, 곱셈을 쓰면 그 개수를 능률적으로 구할 수 있다'라고 되어 있습니다(제4학년 측정). 예를 들어, 가로로 5칸씩 늘어선 줄이, 세로로 7단 반복될 때, 일일이 세지 않아도 5×7로 전체 개수를 알 수 있습니다. 가로로 늘어선 칸의 수가, 세로로 늘어선 단의 수만큼 반복되기 때문에, 곱셈으로 구할 수 있다는 뜻입니다. 여기를 건너뛰고 식만 외우면, L자 모양이나 계단 모양처럼 여러 직사각형을 합친 도형이 나왔을 때 손이 멈춥니다. 복합 도형은 '어디서 나누면, 아는 직사각형이 되는가'를 스스로 찾아내는 문제입니다. 나누는 방법의 짐작이 가지 않으면, 첫 번째 선조차 그을 수 없습니다.
원인 2: 넓이와 둘레를 혼동함
세로와 가로의 길이를 보고, 곱해야 할 곳을 더해 버리는 실수가 흔합니다. 넓이는 '안쪽의 넓은 정도', 둘레는 '바깥쪽 한 바퀴'로, 묻고 있는 것이 다릅니다.
원인 3: 단위 환산에서 자릿수를 틀림
cm²를 m²로 바꿀 때, 1m²를 100cm²로 생각해 100배 하는 실수가 많이 나옵니다. 정확히는 10000배입니다. 답의 자릿수가 두 자리만큼 어긋나 있다면, 이 착오입니다.
집에서 가르치는 법
1단계: 복합 도형을 '나눠서' 세게 한다
L자 모양이나 계단 모양의 넓이는, 직사각형 2개로 나눈 다음, 각각을 세로×가로로 구하고, 마지막에 더합니다. 나누는 방법은 한 가지가 아닙니다. '다르게 나눠도 같은 답이 나오는지' 시험해 보면, 공식의 의미가 몸에 배게 됩니다.
2단계: cm²와 m²의 관계를 '칸'으로 보여 준다
1m×1m 정사각형을, 1cm×1cm 칸으로 보면, 세로로 100개, 가로로 100개 늘어섭니다. 100×100으로 10000개. 그래서 1m²는 10000cm²입니다. '100배'가 아니라 '세로와 가로, 양쪽이 모두 100배가 된다'고 생각하면, 넓이 특유의 자릿수 뛰어넘기가 납득이 갑니다.
3단계: 단위는 한꺼번에 늘리지 않는다
넓이의 단위는 cm², m², a, ha, km²로 종류가 많은데, 해설도 '단위 사이의 관계에 주의하면서 단위의 크기를 유연하게 선택하고'라고 말하고 있습니다(제4학년 측정). 학교에서 배운 단위가 2개 늘어났다면, 거기서 한 번 멈춰 주세요. 앞의 단위와의 관계를 확인하고 나서 다음으로 나아가는 편이, 한꺼번에 몰아넣는 것보다 오래 남습니다. 단위를 스스로 선택할 수 있게 되는 것 자체가 목표라는 것을 알게 되었습니다. 학습지도 cm²·m²·a의 환산과, ha·km²까지의 환산을 다른 단계로 나누고 있습니다.
피하고 싶은 것
공식을 잊었을 때, 암기를 다시 시키는 것만으로 끝내는 것은 피하고 싶습니다. 다시 한번 칸을 세는 작업으로 돌아가면, 식은 거기서부터 떠올릴 수 있습니다.
연습 진행 방법
직사각형과 정사각형의 넓이부터 시작해, 변의 길이나 둘레를 구하는 문제, L자 모양·T자 모양·계단 모양 등의 복합 도형으로 나아갑니다. 이어서 cm²·m²·a의 환산, ha·km²까지의 큰 단위, 넓이를 구한 뒤 단위를 바꾸는 문제까지 다룹니다. 넓이 단원은 이 순서로 한 흐름을 이루고 있으므로, 도중에 걸리면 한 단계 앞의 형태로 돌아가 확인해 주세요.
자주 묻는 질문
Q. 칸을 세는 연습은, 공식을 외우면 더 이상 필요 없나요?
A. 낯선 모양이 나왔을 때 돌아갈 곳으로 남겨 두면 안심이 됩니다. 복합 도형을 어떻게 나눌지 헤맬 때, 칸을 세는 발상으로 돌아가면 풀리는 경우가 있습니다.
Q. 단위 변환만 반복해서 연습시키는 편이 더 빠르지 않을까요?
A. 자릿수를 어림짐작으로 고르는 연습이 되기 쉽습니다. 1m²가 몇 cm²인지를, 칸을 떠올리며 스스로 설명할 수 있는지 먼저 확인하는 편이, 나중의 단위에서도 흔들리지 않습니다.
Q. 복합 도형을 나누는 방법이, 모범 답안과 다른 방식이 되었습니다. 고쳐야 하나요?
A. 답의 수치가 맞고, 나눈 도형이 각각 직사각형이나 정사각형이 되어 있다면, 나누는 방법이 다르더라도 고칠 필요는 없습니다. 같은 넓이에 여러 구하는 방법이 있다는 것을 알아차리는 편이, 정해진 절차를 그대로 따라 하는 것보다 이해가 깊어집니다.
넓이는, 세는 작업과 계산하는 작업이 한 흐름으로 이어진 단원입니다. 식만 서두르지 말고, 칸으로 돌아갈 수 있는 시간을 남겨 두면, 단원 전체가 이어져 보이기 시작합니다.
이 글은 diglabo를 만들고 있는 학부모가 씁니다. 저는 교사도 교육 전문가도 아닙니다. 일반적인 지도 방법은 일본 초등학교에서 가르치는 내용과 학습지도요령을 확인해 정리했습니다.
diglabo의 학습지는 일본 교육과정을 따릅니다. 일본 밖에서 쓴다면 어떤 의미인지