学习指南
「12的约数」为什么漏掉1和12 —— 倍数和约数的找法
让孩子「写出12的约数」，写出2、3、4、6之后手就停了，1和12却漏掉了——这样的场面或许也见过。漏掉的不是算力，而是不知道约数该找到哪里为止。
日本文部科学省的《小学校学习指导要领（2017 年）解说 算数编》把这个单元的目标写成「让孩子能把某个数的约数、倍数的全体，分别看成一个集合来把握」（第 5 学年 数与计算）。
我原本以为，这个单元的目标就像乘法口诀一样，是能很快说出一个个约数。查了才发现，目标不是背得多快，而是能把一个数「所有」的约数当成一整个集合来通览。目标定得这么深，是我查了才知道的。
卡壳的原因：约数、倍数还没被当成「集合」来把握
原因 1：列举约数时漏掉1和这个数本身
解说里写着「能整除12的整数，叫做12的约数」。12能被1整除，也能被12整除，所以1和12都是货真价实的约数。漏掉这一点，是一个信号：孩子还在只从比12小的数里找约数。除非换成「找出乘起来等于12的数对」这种找法，否则1和12不会进入视野。少了1和12的集合，就不是完整的集合。
原因 2：分不清该用公约数还是公倍数
「一张长8厘米、宽12厘米的纸，要剪成同样大小的正方形，一点也不剩」，这是公约数；「每8分钟一班的公交车和每12分钟一班的公交车，下一次同时发车是几分钟后」，这是公倍数。把这两种场面弄混，是最常出现的错误。判断的办法是看答案的大小。正方形的一边一定比8和12都小，所以是公约数；公交车重合的时刻一定比8分钟、12分钟都晚，所以是公倍数。先估计答案该往原来的数变小还是变大，就不会在该算公约数还是公倍数之间犹豫。
原因 3：数倍数时把0也算了进去
解说里写着「用3乘整数得到的数，叫做3的倍数」。只看「乘整数」这句话，好像乘0也说得通，但学校里约定倍数不包含0。3的倍数是3、6、9、12……要从乘1开始数，这是规定，在这里卡住的孩子不少。
在家怎么教
第 1 步：约数靠「找乘法的数对」全部找出来
以12为例，1×12、2×6、3×4，按从小到大的顺序找出乘起来等于12的数对。用数对去找，1和12作为另一半自然就会出现，不会漏掉。出现同一个数自己和自己配对，就是找完了的信号（36的话就是6×6）。
第 2 步：公约数还是公倍数，用「答案该比原来的数怎么变」来确认
列式子之前，先让孩子说出声：「答案该比原来的数变小，还是变大？」分东西的场面该变小，重合的场面该变大，能估出这一点，就能自己选出接下来该算最大公约数还是最小公倍数。
第 3 步：倍数当成乘法口诀倒着写出来，不放进0
问「3的乘法口诀从1开始乘会怎样？」，让孩子按3×1、3×2、3×3……从1开始乘，把倍数写出来。这就是乘法口诀本身的排列，对乘法口诀已经熟练的孩子来说，负担不大。
要避免的做法
先让孩子背「最大公约数」「最小公倍数」这些词，之后再套场面，这种顺序要避免。比起先记术语，先用日常的话确认「分」的场面和「重合」的场面有什么不同。
练习的推进方式
- 整数的性质（约数和倍数）这个单元，按约数和倍数的列举、公约数与最大公约数、公倍数与最小公倍数的顺序连续排下来
- 找约数这项工作，乘法口诀表（6~9、1）倒着查得越快就越轻松。如果还有哪个口诀不熟，先把那一段练稳，反而是近路
- 分数的约分、通分，用的正是这里练的公约数、最小公倍数。进入分数的性质之前，把列举练顺，之后会更轻松
常见问题
Q. 找一个大数的全部约数，有什么诀窍吗？
A. 从1×这个数开始，按顺序找乘起来等于这个数的数对，这个办法最可靠。1和12、2和6、3和4，把较小的那个数从1开始逐步加大，一旦数对里两个数的大小反过来，就说明找完了。36的话，找到1和36、2和18、3和12、4和9、6和6，6×6是同一个数自己配对，到这里就可以停手了。40左右以内的数，用这个办法足够找全。
Q. 质数需要在这个单元教吗？
A. 质数（约数只有1和自己两个的数）不在这个单元的范围内。要正式学要到中学以后。发现「有的数只有2个约数」到这个程度就够了，不必深入。
约数、倍数不是只找一个答案的单元，而是要把它们当成集合来通览的单元。漏写还在持续的时候，花时间确认「怎么找」，比确认「怎么记」更有用。
这篇文章由 diglabo 的开发者、一位家长撰写。我不是老师，也不是教育专家。文中一般性的教法依据日本小学的教学内容，并对照了日本的课程标准。
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