La verdadera cara de "multiplicó y el resultado se hizo más pequeño" — la multiplicación y la división de fracciones
"Multiplica y el resultado se hace más pequeño." "Divide y el resultado se hace más grande." Al entrar en la multiplicación y la división de fracciones en 6.º, se suceden momentos en los que se da la vuelta el sentido que servía con los números enteros.
¿Por qué se derrumba aquí ese sentido que funcionaba con los enteros? La razón es que el significado mismo de multiplicar y dividir fracciones se ha ido reconstruyendo, poco a poco, curso tras curso.
La causa
Causa 1: se derrumba la idea "multiplicar = aumenta, dividir = disminuye"
Multiplicar por 2/3 hace que el número original se haga más pequeño. Dividir entre 4/5 hace que se haga más grande. El sentido que siempre fue válido en el mundo de los números enteros, "al multiplicar aumenta, al dividir disminuye", deja de servir en cuanto el otro número es menor que 1. Esto no es un fenómeno exclusivo de las fracciones: ya había pasado antes con la Multiplicación y división de decimales. El comentario a las directrices curriculares dice, sobre el significado de la multiplicación y la división de fracciones, que "se enseña de modo que se pueda aplicar el significado de la multiplicación y la división ampliado desde los números enteros hasta los decimales" (6.º curso, Números y cálculo). El sentido no se derrumba de golpe con las fracciones: la experiencia de verlo derrumbarse ya se venía acumulando desde antes.
Causa 2: multiplica por separado la parte entera y la parte fraccionaria del número mixto
Al multiplicar 1 y 1/2 por 2/3, hay respuestas que no convierten el número mixto en fracción impropia. Es frecuente ver que se multiplica por separado la parte entera, 1, y la parte fraccionaria, 1/2, cada una por 2/3. Como multiplicar fracciones consiste en multiplicar los denominadores entre sí y los numeradores entre sí, el propio procedimiento no funciona si se deja el número mixto sin convertir. Si el resultado sale bastante más pequeño de lo que debería, sospecha de este patrón. Al investigarlo, encontré que el comentario dice que "en la multiplicación y la división de fracciones, expresarlas como fracción impropia facilita más el cálculo que expresarlas como número mixto". No lo sabía hasta leer esta frase. Las fichas también incluyen, dentro de la unidad de multiplicación, un paso propio de "número mixto por entero, entero por número mixto", para practicarlo antes de llegar a fracción por fracción.
Causa 3: se equivoca sobre cuál de los dos números hay que invertir
La división de fracciones se calcula convirtiéndola en una multiplicación por el recíproco del divisor. Aquí es frecuente el error de invertir, en cambio, el dividendo, con lo que el resultado sale al revés. En la división con tres fracciones también se ve la respuesta que invierte solo la primera vez y, en el resto, multiplica sin invertir.
Cómo enseñarlo en casa
Paso 1: dibuja las situaciones en las que se multiplica o divide por un número menor que 1
Si tomas 2/3 de una cinta, queda más corta que la original. Dibújalo para deshacer la idea de que "es una multiplicación, así que tiene que aumentar". Confirma también, con una cantidad concreta, la situación en la que dividir entre 4/5 hace que el resultado se haga más grande.
Paso 2: convierte el número mixto en fracción impropia antes de empezar a calcular
Una vez escrita la operación de multiplicación o división, comprueba primero si convirtió el número mixto en fracción impropia. Que el orden sea siempre "convertir y después calcular", y no "calcular y después convertir": convierte esto en un hábito que revisas cada vez, en el mismo orden.
Paso 3: señala con el dedo el número que hay que invertir
En la operación de división, que señale primero con el dedo el divisor, la fracción que va después del signo ÷, y después lo invierta. Intercalar este gesto de comprobar con la vista y con la mano cuál de los dos hay que invertir reduce el error de confundirlo con el dividendo.
Qué conviene evitar
El comentario a las directrices curriculares dice, sobre el cálculo con fracciones, que "no se trata de enseñar cálculos innecesariamente complicados, sino de que el cálculo con fracciones se pueda aplicar a la vida cotidiana y a los aprendizajes posteriores". Tampoco en casa hace falta hacerle resolver, para acostumbrarlo, fracciones con muchas cifras o simplificaciones complicadas. Es más directo identificar en cuál de los patrones anteriores se está atascando ahora.
Cómo practicar
- La Multiplicación de fracciones empieza por fracción por entero y entero por fracción, pasa por la etapa propia de número mixto por entero y entero por número mixto, y avanza a fracción por fracción. Si se trata a la ligera la etapa del número mixto, la dificultad sale a la luz después, en fracción por fracción
- La División de fracciones entra por fracción entre entero, entero entre fracción y número mixto entre entero, y avanza a fracción propia entre fracción propia, a formas con número mixto y a formas donde se mezclan fracciones y decimales
Que número mixto entre entero sea un paso independiente responde al mismo motivo.
- En ambos casos se llega hasta problemas verbales de área, de cantidad por unidad y de hallar la cantidad comparada, y hasta la multiplicación y la división con tres fracciones. El comentario a las directrices curriculares también insiste en "no enseñar cálculos innecesariamente complicados, sino lograr que el cálculo con fracciones se pueda aplicar a la vida diaria y al aprendizaje posterior". No hace falta forzarlo a resolver fracciones con números muy grandes
Preguntas frecuentes
P. ¿Por qué en una división se multiplica por el recíproco?
R. El comentario a las directrices curriculares dice que "se enseña que la división cuyo divisor es una fracción se puede convertir en una multiplicación usando el recíproco, y que la multiplicación de números enteros, decimales y fracciones siempre se puede calcular si se expresa todo en fracciones". Convertir a propósito una división en una multiplicación sirve para unificar la forma en que se ve el cálculo. También busca que se pueda resolver solo con el procedimiento de multiplicación que ya se domina. Si le explicas que no se está cambiando el mecanismo, sino solo unificándolo, le resulta más fácil aceptarlo.
P. ¿Cuándo se simplifica?
R. Se puede simplificar al final, después de multiplicar los denominadores entre sí y los numeradores entre sí. Pero cuando los números se hacen grandes y el cálculo se complica, resulta más manejable simplificar antes, con el número común, antes de multiplicar. El resultado es el mismo en cualquiera de los dos órdenes.
Multiplica y se hace más pequeño, divide y se hace más grande. Este desajuste no es un obstáculo exclusivo de las fracciones. Es, simplemente, que el sentido acumulado desde los números enteros se está reorganizando aquí, una vez más. Que el resultado no coincida con la intuición no es motivo para alarmarse.
Este artículo lo escribe un padre que desarrolla diglabo. No soy docente ni especialista en educación. La parte general se basa en cómo se enseña este tema en las escuelas primarias de Japón, contrastada con las directrices curriculares oficiales de Japón.
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