El común denominador y la simplificación de fracciones — cuando no se entiende "cambiar la forma sin cambiar el tamaño"
Las consultas sobre "no entiende las fracciones" no son iguales cuando se trata de un niño de 3.º que no capta el propio significado de la fracción y cuando se trata de uno de 5.º que se traba en el procedimiento de reducir a común denominador o de simplificar. Aquí escribo sobre el segundo caso: el niño ya sabe qué clase de número es una fracción, pero se atasca en la operación de cambiar la forma sin cambiar el tamaño.
¿Has visto alguna vez una respuesta donde solo se cambió el denominador y el numerador se dejó tal cual? Yo también pensaba, al principio, que reducir a común denominador era solo "el trabajo de igualar los denominadores". Al investigarlo, no era así.
La causa
Causa 1: cree que solo hay que "igualar los denominadores"
El Ministerio de Educación de Japón, en su comentario a las directrices curriculares de matemáticas de primaria (2017), señala que "se llama común denominador al proceso de convertir fracciones con distinto denominador en fracciones con un denominador compartido" (5.º curso, Números y cálculo). Lo importante aquí es la parte "convertir en fracciones con un denominador compartido". Si al cambiar el denominador no se cambia el numerador por el mismo factor, el resultado ya no tiene el mismo tamaño que la fracción original. La respuesta que solo cambia el denominador y deja el numerador tal cual es, justamente, la que se salta este punto.
Causa 2: detiene la simplificación "a mitad de camino"
Simplificar es la operación inversa de reducir a común denominador: se divide el denominador y el numerador por el mismo número para escribir la fracción de forma más simple. Es frecuente que, tras dividir una vez entre 2, se detenga ahí y entregue como respuesta una fracción que todavía se puede seguir simplificando. Sin un criterio de cuándo terminar, "hasta que ya no se pueda dividir más", el resultado queda incompleto aunque el cálculo en sí esté bien hecho.
Causa 3: memoriza la forma y deja de lado el significado
El comentario a las directrices curriculares dice, sobre la enseñanza de este proceso, que "es importante no limitarse a operar de forma mecánica, sino comprender bien su significado y poder fijarse en fracciones de igual tamaño". El procedimiento en sí, hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores y multiplicar el numerador por el mismo número, se puede memorizar. Pero si se pierde el sentido de que solo se está cambiando la forma sin cambiar el tamaño, queda el procedimiento sin que se entienda por qué hace falta.
Cómo enseñarlo en casa
Paso 1: muestra fracciones del mismo tamaño una al lado de la otra
Coloca una junto a otra tiras o papeles doblados de la misma longitud para representar 1/2, 2/4 y 3/6. Después de comprobar que las tres se ven del mismo tamaño, pon en palabras la idea: "si multiplicas el denominador y el numerador por el mismo número, el tamaño no cambia". Explícale que reducir a común denominador solo usa esta propiedad para igualar los denominadores de dos fracciones.
Paso 2: si cambia el denominador, que mueva también el numerador
En la práctica de reducir a común denominador, acostumbra a decir en voz alta "por cuánto multipliqué el denominador". Si multiplica el denominador por 3, el numerador también por 3. Que esto no quede como un paso mecánico: acompáñalo siempre de la comprobación "multipliqué por el mismo número, así que el tamaño no cambió".
Paso 3: simplifica hasta que "ya no se pueda dividir más"
Al corregir la simplificación, pregúntale al final una vez más: "¿todavía hay algún número por el que se pueda dividir?". No es raro que, después de notar que se puede dividir entre 2, la fracción también se pueda dividir entre 3. Con esa pregunta creas el hábito de no detenerse tras dividir una sola vez.
Qué conviene evitar
Cuando encuentres una respuesta donde solo cambió el denominador y dejó el numerador tal cual, decirle solo "cambia también el numerador" hace que repita el mismo error la próxima vez. Es mejor preguntarle "¿por cuánto multiplicaste el denominador?" y después "¿y el numerador?", para que sea él o ella quien diga en voz alta el número por el que multiplicó. Así aprende a notarlo por sí mismo la próxima vez.
Cómo practicar
- Propiedades de las fracciones (5.º) empieza por completar huecos con fracciones de igual tamaño, y avanza a simplificar, a reducir a común denominador entre dos números y entre tres, y a comparar tamaños. No conviene apurar el paso de completar fracciones equivalentes por parecer "fácil": es la base de lo que viene después
- En la misma unidad también se practica expresar el cociente de una división como fracción, y pasar de fracciones a decimales y viceversa. Es un recorrido que confirma el significado de la fracción desde varios ángulos
- Una vez que sabe reducir a común denominador, avanza a Suma de fracciones (distinto denominador) y a Resta de fracciones y cálculo mixto. El comentario a las directrices curriculares explica el motivo: "esta es la idea que sostiene, de base, el cálculo de la suma y la resta: igualar la unidad antes de calcular". Reducir a común denominador no es un paso previo a la suma y la resta, sino la idea que sostiene ese mismo cálculo
Al investigarlo descubrí que el material sigue el mismo orden: coloca la práctica de confirmar fracciones equivalentes antes de simplificar y de reducir a común denominador.
Preguntas frecuentes
P. ¿Qué conviene practicar primero, reducir a común denominador o simplificar?
R. No hace falta inventar un orden nuevo en casa. Si sigues el orden del material, completar fracciones equivalentes, simplificar, reducir a común denominador, primero se acostumbra al movimiento de "dividir entre el mismo número" con la simplificación, y después pasa al movimiento de "multiplicar por el mismo número" al reducir a común denominador. Como las dos son la misma propiedad vista al derecho y al revés, que el orden se invierta alguna vez no causa un problema grave.
P. ¿No se puede reducir a común denominador sin conocer el mínimo común múltiplo?
R. El comentario a las directrices curriculares dice que "al reducir dos fracciones a común denominador, usar como denominador el mínimo común múltiplo de los dos denominadores permite expresarlo de forma más simple". Dicho de otro modo: aunque no sea el mínimo común múltiplo, con cualquier múltiplo común de los dos denominadores se puede reducir a común denominador; solo que los números se hacen más grandes y el cálculo se complica. Piensa en el mínimo común múltiplo más como una herramienta para calcular con comodidad que como un conocimiento imprescindible. Aunque el aprendizaje de los múltiplos todavía esté algo inseguro, no hace falta detener la práctica de reducir a común denominador.
Reducir a común denominador y simplificar es, dentro del cálculo con fracciones de 5.º, la unidad más discreta. Justamente porque no suele dar tropiezos llamativos, es fácil pasar por alto una respuesta donde solo se cambió el denominador. Al corregir, revisa también el numerador.
Este artículo lo escribe un padre que desarrolla diglabo. No soy docente ni especialista en educación. La parte general se basa en cómo se enseña este tema en las escuelas primarias de Japón, contrastada con las directrices curriculares oficiales de Japón.
Las fichas de diglabo siguen el currículo japonés. Qué significa esto si vives fuera de Japón