Guías de estudio
Cómo enseñar los múltiplos y los divisores — por qué faltan el 1 y el 12 entre "los divisores de 12"
Le pides "escribe los divisores de 12" y escribe 2, 3, 4, 6, y ahí se detiene. Puede que hayas visto esa escena en la que faltan el 1 y el 12. Lo que falta no es habilidad de cálculo: es no tener claro hasta dónde hay que buscar.
El Ministerio de Educación de Japón, en su comentario a las directrices curriculares de matemáticas de primaria (2017), señala que el objetivo de esta unidad es "que se pueda captar el conjunto completo de los divisores o los múltiplos de un número como un único conjunto" (5.º curso, Números y cálculo).
Yo daba por hecho que el objetivo de esta unidad era, como con las tablas de multiplicar, decir cada divisor rápidamente. Al investigarlo, vi que el objetivo no es la velocidad para recordar cada uno por separado, sino llegar a abarcar con la vista, como un solo conjunto, todos los divisores de ese número. No sabía que el propósito llegaba tan lejos.
La causa: no se llega a captar los divisores y los múltiplos como un "conjunto"
Causa 1: al enumerar los divisores, se olvida del 1 y del propio número
El comentario dice que "se llama divisor de 12 al número entero que puede dividir a 12 sin dejar residuo". Como 12 se puede dividir entre 1 y también entre 12, tanto el 1 como el 12 son divisores de pleno derecho. Que se olviden es una señal de que está buscando los divisores solo entre los números menores que 12. Mientras no cambie a la búsqueda de todos los pares de números que, multiplicados, dan 12, el 1 y el 12 no entran en su campo de visión. Un conjunto al que le faltan el 1 y el 12 no es el conjunto correcto.
Causa 2: duda, según la situación, entre divisor común o múltiplo común
"Quiero cortar sin que sobre nada un papel de 8 cm de alto por 12 cm de ancho en cuadrados del mismo tamaño" pide el divisor común; "un autobús sale cada 8 minutos y otro cada 12, ¿dentro de cuántos minutos vuelven a salir juntos?" pide el múltiplo común. El error de confundir estas dos situaciones es el más frecuente. La forma de distinguirlas es el tamaño de la respuesta: el lado del cuadrado tiene que ser menor que 8 y que 12, así que es un divisor común; el momento en que coinciden los autobuses tiene que ser posterior a los 8 y a los 12 minutos, así que es un múltiplo común. Si primero prevé si la respuesta debe ser menor o mayor que los números originales, no duda entre calcular el divisor común o el múltiplo común.
Causa 3: mezcla el 0 al contar los múltiplos
El comentario dice que "se llama múltiplo de 3 al número que resulta de multiplicar 3 por un número entero". Solo con la expresión "multiplicar por un número entero" parece que también valdría multiplicar por 0, pero en la escuela hay un acuerdo de no incluir el 0 entre los múltiplos. Está establecido que los múltiplos de 3 se cuentan empezando a multiplicar desde 1: 3, 6, 9, 12… y no son pocos los niños que se atascan aquí.
Cómo enseñarlo en casa
Paso 1: encuentra todos los divisores buscando parejas de multiplicación
Para 12, busca en orden, de menor a mayor, las parejas que multiplicadas dan 12: 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4. Al buscarlos en parejas, el 1 y el 12 aparecen de forma natural como pareja del otro número, así que no se olvidan. Cuando aparece una pareja de números iguales, es la señal de que ahí termina la búsqueda (para 36, sería 6 y 6).
Paso 2: comprueba si es divisor común o múltiplo común según cómo debe quedar la respuesta
Antes de plantear la operación, que diga en voz alta si la respuesta debe ser menor o mayor que el número original. Si en una situación de repartir debe ser menor, y en una de coincidir debe ser mayor, puede elegir por sí mismo si le toca calcular el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo.
Paso 3: escribe los múltiplos como la tabla de multiplicar al revés, sin incluir el 0
Pregúntale "¿cómo sigue la tabla del 3, empezando desde 1?" y que construya los múltiplos multiplicando desde 1: 3, 6, 9… Como es la misma serie de la tabla de multiplicar, es una práctica poco pesada para quien ya la recita sin dudar.
Qué conviene evitar
Conviene evitar el orden de hacerle memorizar primero los términos "máximo común divisor" y "mínimo común múltiplo" y después encajarlos en cada situación. Antes que los términos, confirma con palabras cotidianas la diferencia entre una situación de repartir y una de coincidir.
Cómo practicar
- La unidad Propiedades de los enteros (divisores y múltiplos) sigue, de corrido, el orden: enumerar divisores y múltiplos, divisor común y máximo común divisor, múltiplo común y mínimo común múltiplo
- Buscar divisores se hace más fácil cuanto más rápido se usa Tablas de multiplicar (del 6 al 9 y 1) al revés. Si todavía queda alguna tabla insegura, afianzarla antes es, al final, el camino más corto
- Simplificar y reducir a común denominador en las fracciones son situaciones que usan directamente el divisor común y el mínimo común múltiplo que se practican aquí. Antes de avanzar a Propiedades de las fracciones, dejar bien afianzada la enumeración facilita lo que viene después
Preguntas frecuentes
P. ¿Hay algún truco para encontrar todos los divisores de un número grande?
R. El método más seguro es buscar, empezando desde el 1, las parejas que multiplicadas dan ese número. Como con 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4: aumenta desde 1 el número más pequeño de la pareja, y cuando el orden de los dos números de la pareja se invierte, ahí termina la búsqueda. Para 36, al llegar a 1 y 36, 2 y 18, 3 y 12, 4 y 9, 6 y 6, como 6 y 6 son el mismo número, esa es la señal de que ahí se puede detener. Para números hasta unos 40, este método basta para encontrarlos todos.
P. ¿Hay que enseñar los números primos en esta unidad?
R. Los números primos, los que solo tienen como divisores el 1 y ellos mismos, quedan fuera del alcance de esta unidad. Se tratan en profundidad a partir de secundaria. Basta con que note que también hay números con solo dos divisores; no hace falta profundizar más.
Los divisores y los múltiplos no son una unidad en la que se busca una sola respuesta: son una unidad en la que se abarca un conjunto completo con la vista. Mientras sigan faltando números, dedica el tiempo a revisar la forma de buscarlos, más que la forma de memorizarlos.
Este artículo lo escribe un padre que desarrolla diglabo. No soy docente ni especialista en educación. La parte general se basa en cómo se enseña este tema en las escuelas primarias de Japón, contrastada con las directrices curriculares oficiales de Japón.
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